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（一）基本定义的公式表达
误差表示测得值与被测量真值的差距。依应用场合的不同，有三种含义：误差元、误差范围或泛指二者。
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误差元：测得值减真值
r = M-Z （1）
误差范围：误差元的绝对值的一定概率（99%以上）意义上的最大可能值
R =|r|max = |M-Z|max （2）
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误差范围是误差理论的基本概念，它贯通于测量仪器的研制、计量、应用测量三大场合。误差范围又称为：极限误差、准确度、准确度等级、最大允许误差等。
误差元是构成误差范围的元素。误差元是误差分析的基础。误差元的定义提示：误差分析就是求测得值函数的差分或微分。有了误差元，才能求出误差范围，并使误差范围有明确的物理意义。误差范围的定义，体现了误差量的两大特点：绝对性和上限性，也提示了推导公式的基本方法是解绝对值方程和找绝对值的最大值。
公式（1）与公式（2）是误差理论的基本公式。是测量计量理论公式化即严格化的基础。
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【对不确定度论质疑1】
A 定义问题
1) GUM说平均值的标准偏差是标准不确定度：
u(xi)=s(X平i) （1.1）
这仅适用于基础测量（常量测量），且只包含分散性而忽略更重要的偏离性。
对统计测量，分散性的表征量是单值的σ，而不是平均值的σ平，因此标准不确定度不能表征统计变量。
2）在B类评定中，GUM法将以系统误差为主的仪器的误差范围，视为随机量，并假设系统误差是均匀分布，求标准不确定度的公式为：
u = MPEV/√3 （1.2）
（1.2）式是台域统计的公式。测量计量中，是时域统计，（1.2）式犯了“统计方法错位”的错误。对计量测量的时域统计，（1.2）式错误，故B类评定的标准不确定度不成立。以下合成不确定度、扩展不确定度也就都不成立。
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B 推导问题
误差范围的元素是误差元。有了这个元素，在各种不同情况下，都能进行从误差元到误差范围的推导。
不确定度的要害是没有构成它的元素。于是就不能进行推导。您见过有哪项不确定度公式的推导吗？没有自己独立的公式，特别是不能进行严格的数学推导，算什么理论？
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（二）测量结果表达式
1 公式推导
从公式（2），可以方便地推导测量结果的公式。
物理公式是关于真值的关系式。表征仪器物理机制的物理公式为
Z = f (X1,X2,……XN) （2.1）
Z为被测量的真值。Xi是仪器各构成单元作用量的真值。
测量仪器的计值公式为
M = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) （2.2）
m表测得值，o表标称值，二取其一。
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误差元为
r = M– Z
= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN) （2.3）
误差元的绝对值的最大值为
│M-Z│max= │f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN)│max （2.4）
这个“误差元绝对值的最大可能值”就是误差范围，记（2.4）式右端为误差范围R(恒正), 有
│M –Z│max= R （3）
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公式（3）是一个基本公式。本节前面的推导，是测量仪器误差范围本身的内容表达；下面由误差范围的定义，推导测量结果的公式。
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去掉（3）式最大值符号，有
│M – Z│ ≤ R （2.5）
解绝对值关系式（2.5）
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当 Z＜M时
∵ M – Z ≤ R
∴ Z ≥ M - R （2.6）
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当Z＞M时
∵ Z - M ≤ R
∴ Z ≤ M + R （2.7）
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综合（2.6）式、（2.7）式，有
M-R ≤ Z ≤ M + R （4）
（4）式简记为
Z = M ± R （5）
（5）式是测量结果的表达式。简称测量结果。
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2 测量仪器的误差范围指标值，就用为测量中测得值的误差范围值
测量仪器示值误差的定义：在正常工作环境下，测量仪器示值与被测量真值之差
r仪 = M-Z （2.8）
R仪= |r仪|max = |M-Z|max （2.9）
同一规格型号的仪器，标有误差范围的同一指标值，记为R仪/指标。
测量误差的定义式是（1）（2），有
R测 = R = R仪
∵ R仪 ≤ R仪/指标
∴ R测 ≤ R仪/指标
故可用R仪/指标表示R测，保守计算，有：
R测 = R仪/指标
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用测量仪器测量被测量，在仪器的正常工作条件下，测得值的误差范围不会超过测量仪器的误差范围指标值。因此，用测量仪器的误差范围指标值当测得值的误差范围，是冗余代换。不必另行评定，就认定：
R测 = R仪/指标（MPEV） （6）
根据公式（6），测量工作中，用测量仪器的误差范围指标值，当做测得值的误差范围.这对实际工作是十分方便的。
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【对不确定度论质疑2】
不确定度理论的所谓的“评定”，常常是重计某些项目，对正常的仪器应用来说，既麻烦又不当。仪器性能指标定义中已经包括了的内容，为什么要重复计算？
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（三）计量的误差，等于计量标准的误差范围
计量的误差公式推导如下。
必须认清：求什么，用什么，靠什么，得什么。物理公式必须物理意义确切。物理公式必须是意义明确的“构成公式”。
测量是用测量仪器测量被测量，以求得被测量的值。而检定是用被检仪器来测量已知量值的标准，以求得测量仪器的误差，看是否合格。检定是测量的逆操作。测量仪器的误差，是检定的认识对象。检定的目的是求得仪器的误差，必须是测得值与被测量真值之差，而得到的是测得值与标准标称值之差；对计量本身的误差分析，就是求这二者的差别。
设测得值为M，标准的标称值为B，标准的真值为Z，仪器的误差元（以真值为参考）为r仪，检定得到的仪器测得值与标准的标称值之差值为r示标)。
1 要得到的测量仪器的误差元为：
r仪=M – Z （3.1）
2 检定得到仪器的视在误差元为：
r仪/计= M– B （3.2）
3 标准的误差元为
r标= B–Z （3.3）
4 （3.2）与（3.1）之差是计量误差元：
r计 = r仪/计– r仪 =（M-B）-（M -Y）
=（Z–B）
= r标 （3.4）
误差范围是误差元的绝对值的最大可能值。误差范围关系为：
│r计│max = │r标│max
即有
R计= R标 （7）
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公式（7）是计量误差的基本关系式，计量误差由标准（及其附属装置）的误差范围决定。计量误差与被检仪器的误差因素无关。
检定与校准中的合格性判别，由计量误差R计形成待定区，待定区的半宽等于标准的误差范围R标。
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【对不确定度论质疑3】
按不确定度理论，当今的检定与校准，都规定计量时的“测量不确定度”是
U95 =√[(3σ平)2 + (R标)2+(分辨力误差)2] =Uβ=Rβ （3.5）
计量误差是手段的问题，就是计量标准的误差范围。（3.5）式是测定系统误差时的误差范围。（3.5）式包含有对象的性能，把它当成判断合格性时的计量误差，是错误的。叶德培先生早已原则上指出“计量不确定度包含被检仪器性能”的错误。老史这里用公式推导的方式，给出正确公式（7），从而否定不确定度论的计量不确定度公式（3.5）。
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（四）合格性判别公式
4.1 检定的操作与计算
检定的具体操作是用测量仪器测量计量标准。因已知标准的量值，由此来求得测量仪器的测得值与真值的差，即误差。测量仪器性能的表征量是误差范围，因此必须求误差元的绝对值的最大可能值。求最大可能值的严格方法是统计方法，通常的检定工作可采用简化法，但不能忘记找最大差值这个要点。
A 统计方法找误差元绝对值的最大值
设标准的真值为Z，标称值为B，仪器示值为Mi，测量N次。
1）求平均值M平。
2）按贝塞尔公式求单值的σ。
3）求平均值的σ平
σ平= σ /√N
4）求测量点的系统误差范围
β = M平－B （4.1）
5）取平均值的随机误差范围是3σ平
6）单值随机误差范围是3σ
7）被检测量仪器的误差范围由系统误差范围β、确定系统误差时的测量误差范围3σ平与示值的单值随机误差范围3σ合成。因系以标准的标称值为参考得出，称其为误差元计量值，记为
r仪/计 = β ± 3σ平± 3σ （4.2）
三项中仅有一项为系统误差，合成取“方和根”，误差范围为
R仪/计 =√[ β2+(3σ平)2+(3σ)2] （4.3）
R仪/计习惯上记为|Δ|max。
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B 简化操作
在被检仪器量程上，选有代表性的以及可能误差较大的测量点数个，每点测量10次，求各点的误差元绝对值的最大值，得R仪/计。
R仪/计 = │Mi - B│max
= |Δ|max (4.4)
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4.2 合格性判别公式
被检仪器的误差范围指标是R仪/指标，又记为MPEV。若
R ≤ MPEV （4.5）
则被检测量仪器合格。
R是被检仪器的误差范围，参考值是被测量的真值。而实测的仪器的误差范围，是以标准的标称值为参考值的。计量中实测得到的是被检仪器的误差的测得值是R仪/计，规范中记为|Δ|，准确地说应为|Δ|max，误差量的测量结果是：
R = |Δ|max±R计
= |Δ|max±R标 （4.6）
判别合格性，必须用误差的测量结果与仪器指标比。
（A）由于计量误差的存在，R的最大可能值是|Δ|max+R标。若此值合格，因仪器误差绝对值的其他可能值都比此值小，则所有误差可能值都合格。因此，合格条件为：
|Δ|max+R标 ≤ R仪/指标
即
|Δ|max ≤ R仪/指标 - R标 （4.7）
（B）由于计量误差的存在，R的最小可能值是|Δ|max - R标。若此值因过大而不合格，因仪器误差绝对值的其他可能值都比此值大，则所有误差可能值都不合格。因此，不合格条件为：
|Δ|max―R标 ≥ R仪/指标
即
|Δ|max ≥ R仪/指标+ R标 （4.8）
注：校准中的合格性判别同于检定中的合格性判别。
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【对不确定度论质疑4】
计量场合，现在的作法，《JJF1094-2002》、《cnas-GL27》都规定计量的误差即待定区的半宽，为
U95 = √[(3σ平)2 + (R标)2+(分辨力误差)2]
= Uβ
= Rβ
这是错误的。中国推行不确定度论的第一人，《JJF1001》、《JJF1059》两项规范的第一起草人叶德培先生，在优酷网的录像讲课中，说：把被检对象的性能，算在标准的性能中是错误的。你，一个普通的不确定度论赞成者，还有什么话说？你说说是可以的；老史可以帮你分析一下，你迷在哪里。
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（五）测定系统误差时的误差范围
5.1 测定系统误差时的操作
测定系统误差的方法是用被校仪器测量计量标准。操作同于检定的操作A。测定系统误差，包括从测量仪器误差中分离系统误差与随机误差的要求，因此，比前述计量误差多出测量平均值的误差范围3σ平及仪器的分辨力误差。
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5.2 测定系统误差时的误差范围
系统误差的测得值为：
β视= M平-B±分辨力误差 （5.1）
真系统误差（系统误差定义值，以标准的真值为参考）
β真= EM-Z （5.2）
则测定系统误差时的误差为
rβ = β视 -β真
= [M平-B]-[EM-Z] ±分辨力误差
=[M平-EM]-[ B-Z] ±分辨力误差
=±3σ平± R标 ±分辨力误差 （5.3）
测定系统误差时的误差范围，由被校仪器示值的平均值的标准偏差、被校仪器分辨力误差和计量标准的误差合成。可能较大的误差是随机误差，仅有一项R标视为系统误差，按“方和根法”合成。
测定系统误差时的误差范围为
Rβ =√[(3σ平)2 + (R标)2+(分辨力误差)2] （5.4）
换成不确定度的语言，确定系统误差的不确定度为
Uβ =√[(3σ平)2 + (R标)2+(分辨力误差)2]
= Rβ
现行不确定度论的校准不确定度U95，其包含的内容与Rβ包含的内容相同，就是Rβ，这里记为Uβ，是确定系统误差时的误差范围。
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【对不确定度论质疑5】
不确定度评定的唯一正确的地方，是测定系统误差的误差范围的表达。但可惜，好像是巧合。因为宣贯者说：Rβ是上级计量部门的能力；其实，Rβ的一小部分是上级计量部门的能力（标准的性能R标）；而大部分是被检仪器的性能（被检仪器的σ平和分辨力）。
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（六）修正后，仪器的误差范围
修正前测量仪器的误差范围是系统误差、随机误差、分辨力误差的合成结果。
M = Z + β ± 3σ ± 分辨力误差
修正值
C = -β视
= - β ± Rβ
修正后的测得值是
M修 = M + C
= (Z + β ± 3σ ± 分辨力误差)+ C
= (Z + β ± 3σ ± 分辨力误差)– β ± Rβ
= Z ± Rβ ± 3σ ± 分辨力误差
修正值M修的误差元为
r修 = M修 - Z
=±Rβ ±3σ ±分辨力误差
修正值的误差范围是
R修 = √[Rβ2+(3σ)2+ (分辨力误差)2]
修正后的测量结果：
Z = M修 ± R修
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【对不确定度论质疑6】
Uβ的来源是标准的误差范围和被检仪器随机误差对确认系统误差的干扰（分离系统误差与随机误差时，随机误差的残留部分，只好当误差处理）。这比修正后的仪器的误差范围少随机误差范围3σ。当然，特殊情况，如砝码、量块，σ为零，这个错误就显现不出了。但对大量的测量仪器，这种认识与作法都是不当的。您看呢？
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补充内容 (2016-12-11 16:24):
公式（3.4）" r计 = r仪/计– r仪 =（M-B）-（M -Y）=（Z–B） = r标" 中的Y改为Z.
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